众所周知：

  • 线段树的代码长，常数大；
  • 树状数组的代码短，常数小，甚至可以通过 106 量级的数据。

所以，能不能实现一个可以区间修改、区间查询的树状数组呢？

由于涉及区间操作，考虑差分数组 {dn}。

区间修改

对于原数组 [l, r] 区间每个数加 w。

可以转化为两次单点修改，即 l 单点处加 +w，r + 1 单点处加 −w。

区间查询

对于原数组 [l, r] 区间求和。

显然 可以差分为两个 [1, u] 的前缀求和。

观察每一个 ，可以发现

所以 d1 的贡献为 u，d2 的贡献为 u − 1，d3 的贡献为 u − 2，……，du 的贡献为 1。

故可得 dk 的贡献为 u − j + 1。

发现 u + 1 的值是固定的，可以提取出来：

因此同时使用两个树状数组维护 {dn}、{n × dn} 即可，该技巧即为超级树状数组。

代码实现

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typedef long long lint;
lint sum(int p, lint *t) { // 查询 t 中 [1,p] 之和
	lint res = 0;
	for (int i = p; i; i -= lowbit(i))
		res += t[i];
	return res;
}

lint ask(int p) {
	return sum(p, d) * (p + 1) - sum(p, f);
}

lint query(int l, int r) {
	return ask(r) - ask(l - 1);
}

void add(int p, lint x, lint *t) {
	for (int i = p; i <= n; i += lowbit(i)) t[i] += x;
}

void update(int l, int r, lint x) {
	add(l, x, d), add(r + 1, -x, d);
	add(l, x * l, f);
	add(r + 1, -x * (r + 1), f);
}