数列极限

数列极限的定义

已知数列 {a_n} 及固定实数 a，如果对于任意事先给定的整数 ϵ，总能找到自然数 N，只要自然数 n > N，就有 |a_n−a| < ϵ，则称当 n 趋向 + ∞ 时，{a_n} 的极限存在，且极限为 a，记作

常用结论

如果存在正实数 M，使得 ∀n，都有 |a_n| < M，则称数列 {a_n} 有界。

由定义可得以下两个常用结论：

单调有界数列必有极限，无界数列必无极限。
若两个子序列有极限且极限不同，则数列必无极限。

运算法则

设数列 {a_n}.{b_n} 满足且，那么：

。
。
若 b, b_n 均不为 0，则。

常见数列极限

，其中 c 为常数。
，其中 a 为常数且 a > 0。
，其中 a 为常数且 0 < a < 1。
，其中 a 为常数且 a > 1，f(n) 为有关 n 的多项式。

夹逼定理

如果数列 a_n ≤ b_n ≤ c_n，t 为一常数，若有则

例题

Q1

求证：

对于任意给定的 ϵ > 0，

取，则

当 n > N 时，。

故。

Q2

求的极限。

Q3

求的极限。

[!WARNING] 左边式子中有 n + 1 项，当 n → + ∞ 时有 + ∞ 项，所以不能直接拆开计算！

涉及无穷时不能想当然！

函数极限

函数极限的定义

如果存在 r > 0，使 D = {x ∣ 0 < |x−x₀| < r, r > 0} 包含于 f(x) 的定义域，则说 y = f(x) 在 x₀ 附近有定义，称 D 是 x₀ 的邻域。

设函数在 y = f(x) 在 x₀ 附近有定义，y₀ 是实数。如果对任意给定的正数 ϵ，总能找到正数 δ，只要实数 x 满足 0 < |x−x₀| < δ，就有 |f(x)−y₀| < ϵ，则称当 x 趋近 x₀ 时，f(x) 的极限存在，且极限为 y₀，记作

如果对任意给定的正数 ϵ，总能找到正数 δ，只要实数 x 满足 x₀ < x < x₀ + δ，就有 |f(x)−y₀| < ϵ，则称当 x 由右边趋向 x₀ 时，f(x) 的右极限存在，且右极限为 y₀，记作如果对任意给定的正数 ϵ，总能找到正数 δ，只要实数 x 满足 x₀ − δ < x < x₀，就有 |f(x)−y₀| < ϵ，则称当 x 由左边趋向 x₀ 时，f(x) 的左极限存在，且左极限为 y₀，记作

左极限与右极限统称单侧极限。

运算法则

设且，那么：

。
。
当 b ≠ 0 时，。

常见的函数极限

，其中 c 是常数。
，其中 a 是常数。
。
。
。
。
。
。

例题

Q1

判断当 x 趋向于 x₀ 时，以下函数是否有极限；若存在，请写出极限值。

$$
$$

构造序列 {a_n}, {b_n}，通项公式为那么

故

因为 0 ≠ 1，所以 f(x) 在 x₀ = 0 处无极限。

Q2

已知如果，求 a, b 的值。

显然。所以