，其中 c 为常数。
，其中 a 为常数且 a > 0。
，其中 a 为常数且 0 < a < 1。
，其中 a 为常数且 a > 1，f(n) 为有关 n 的多项式。

夹逼定理

如果数列 a_n ≤ b_n ≤ c_n，t 为一常数，若有则

例题

Q1

求证：

对于任意给定的 ϵ > 0，

取，则

当 n > N 时，。

故。

Q2

求的极限。

Q3

求的极限。

[!WARNING] 左边式子中有 n + 1 项，当 n → +∞ 时有 +∞ 项，所以不能直接拆开计算！

涉及无穷时不能想当然！

函数极限

函数极限的定义

如果存在 r > 0，使 D = {x ∣ 0 < |x − x₀| < r, r > 0} 包含于 f(x) 的定义域，则说 y = f(x) 在 x₀ 附近有定义，称 D 是 x₀ 的邻域。

设函数在 y = f(x) 在 x₀ 附近有定义，y₀ 是实数。如果对任意给定的正数 ϵ，总能找到正数 δ，只要实数 x 满足 0 < |x − x₀| < δ，就有 |f(x) − y₀| < ϵ，则称当 x 趋近 x₀ 时，f(x) 的极限存在，且极限为 y₀，记作

如果对任意给定的正数 ϵ，总能找到正数 δ，只要实数 x 满足 x₀ < x < x₀ + δ，就有 |f(x) − y₀| < ϵ，则称当 x 由右边趋向 x₀ 时，f(x) 的右极限存在，且右极限为 y₀，记作如果对任意给定的正数 ϵ，总能找到正数 δ，只要实数 x 满足 x₀ − δ < x < x₀，就有 |f(x) − y₀| < ϵ，则称当 x 由左边趋向 x₀ 时，f(x) 的左极限存在，且左极限为 y₀，记作

左极限与右极限统称单侧极限。

运算法则

设且，那么：

。
。
当 b ≠ 0 时，。

常见的函数极限

，其中 c 是常数。
，其中 a 是常数。
。
。
。
。
。
。

例题

Q1

判断当 x 趋向于 x₀ 时，以下函数是否有极限；若存在，请写出极限值。

$$

$$

构造序列 {a_n}, {b_n}，通项公式为

$$

\begin{aligned}

a_n&=\

b_n&=

\end{aligned}

$$

那么

$$

{n+}a_n={n+}b_n=0

$$

故

因为 0 ≠ 1，所以 f(x) 在 x₀ = 0 处无极限。

$$
构造序列 {a_n}, {b_n}，通项公式为
$$
\begin{aligned}
a_n&=\
b_n&=
\end{aligned}
$$
那么
$$
{n+}a_n={n+}b_n=0
$$

Q2

已知如果，求 a, b 的值。

显然。所以