解不等式

高次不等式

画图，一般都问与 0（即 x 轴）的关系。

对于函数 我们可以先得到其与 x 轴的交点：a₁, a₂, ⋯, a_n​。

判断穿的方向

假设当前 y = (2x − 1)(x − 1)(2x + 1)。

则其与 x 轴交点为 。

但是此时我们会有两种可能的情况：

1

那么哪条曲线时对的呢？

可以代入值。

假设代入一个较大的值 x = 100，那么显然 2x − 1 > 0，x − 1 > 0，2x + 1 > 0，故函数值  > 0。

图中红色曲线显然 x = 100 时  > 0，紫色曲线则  < 0，故红色曲线正确。

最终我们也得出了 y = (2x − 1)(x − 1)(2x + 1) 的函数图像。

当然，手绘不会那么精准，但是判断函数值与 0 的关系是无妨的。

判断是否穿过

那么给上面的函数加上一个指数，y = (2x − 1)(x − 1)²(2x + 1)，那么函数会变成什么样呢？

简单情况

令 y₁ = x − 1​，则图像为：

2

此时函数穿过了点 (1, 0)。

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令 y₂ = (x − 1)²，则图像为：

3

可以发现此时函数没有穿过点 (1, 0)，只是擦了一下 (1, 0) 就返回去了。

复杂情况

由此我们可以得出一个结论（虽然证明非常不充分，但直接用就行了）：

当 y 中一个因数为 (x − i)^j 时，若

• j 为奇数，则函数穿过点 (i, 0)（如第一张图）；
• j 为偶数，则函数擦过点 (i, 0)（如第二张图）。

那么对于原函数 y = (2x − 1)(x − 1)²(2x + 1)，可以得到函数擦点 (1, 0)，穿过点 (−0.5, 0) 和 (0.5, 0)，图像如下：

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总结

• 对于函数穿的方向，可以 代入具体值。
• 对于函数是否穿过，可记 奇穿偶不穿（奇数穿过，偶数擦过）。

绝对值不等式

假设当前要解的不等式为 |f₁(x)| < |f₂(x)| 则可以转化为 (f₁(x))² < (f₂(x))² 那么移项后运用平方差公式可得： (f₁(x) − f₂(x))(f₁(x) + f₂(x)) < 0 分类讨论即可。